in Matematica

#Cagir | Binari nel campus

“Non ci sono terre straniere. E’ solo chi viaggia lo straniero” (R.L. Stevenson)

Institut de Mathematiques de Bourgogne

La vista dall’alto delle città è spesso molto più strana di ciò che si possa pensare quando si è giù. Se in bicicletta attraverso un bosco posso apprezzare il paesaggio, essere affascinato da ciò che mi circonda, non so quello che c’è oltre, e posso solo immaginarlo. Ma se guardo quello stesso bosco dall’alto, posso notare cosa c’è accanto e fare una considerazione più oggettiva. Terre, coltivazioni, verde e girasoli. E’ questo la prima immagine della Francia che è emersa dall’oblò del mio aeroplano. La Francia è una regione molto vasta, non tutta edificata. Hanno tante risorse e molte ancora da sfruttare. Penso che uno dei motivi per cui resistono in maniera così dignitosa alla crisi economica è anche questo.

 

Non ci sono terre straniere, ma viaggiando emerge quanto siamo diversi. E’ piacevole osservare le sfumature che ci sono in tutte le culture, è una potenzialità incredibile per il genere umano. Ti fa anche piacere essere un po’ preso in giro da colui a cui chiedi informazioni quando sentono l’accento diverso, oppure quando vieni bruscamente invitato a parlare in francese da chi è francese a cui chiedi informazioni riguardanti cose francesi.

Ma la Francia è evidentemente propensa alla valorizzazione delle attività culturali. Avevo dimenticato quanto poteva essere piacevole entrare all’interno di un Dipartimento di Matematica: non vedevo stanze così colorate e aule così odoranti da quando frequentavo le scuole elementari. Effettivamente qui ci si ricorda che i bambini poi diventano anche grandi.

La prima impressione che ho avuto quando mi sono seduto con la mia biro e il mio block notes che mi guardavano con aria di sfida, è stata di essere all’interno di Futurama: non perché i Professori sorridevano (alla fine è così in ogni corso estivo), ma soprattutto per il loro dress code, pressoché inesistente: cravatta gessata che convive su una t-shirt, o camicia a righe viola e celeste coperta da una notevole giacca a scacconi marroni. Non è un critica a loro, ma piuttosto un complimento ai docenti che ho avuto finora.

 

Il topic della lezione di oggi è stato la parametrizzazione delle curve differenziali.

Guardando gli ultimi mondiali di calcio, ho notato che ogni volta che c’era una sostituzione la part-time regia televisiva della tv nazionale, mandava in grafica il chilometraggio percorso dai calciatori uscenti. Ha fatto clamore che durante la prima partita nazionale Pirlo con i suoi 35 anni suonati aveva corso più di Sturridge e Sterling (in quel momento nessuno si preoccupava che quelli sarebbero stati i chilometri complessivi di Andrea per tutto la restante parte della manifestazione sportiva). Mi ha sempre affascinato capire quale tecnica strana veniva utilizzata per fornire questi dati. Ho sempre pensato che si trattava di un dato approssimato; un dato che nessuno mai avrebbe potuto verificare in maniera corretta.

Oppure no? Pensiamo un attimo di posizionare sotto la scarpa del calciatore una matita colorata, e supponiamo che al posto del verde terreno di gioco ci sia un grosso foglio bianco delle stesse dimensioni. Ad ogni passo la nostra cavia traccerà sul terreno di gioco un segno, e dopo la sua corsa avrà disegnato una specie di linea contorta che parte dal punto di inizio e termina al punto in cui il calciatore si ferma in quel momento. Alla fine della gara il nostro foglio bianco si sarà trasformato in un tracciato fedele di tutto il percorso effettuato dal calciatore: ci saranno zone percorse più intensamente e più volte, e altre percorse in maniera sporadica. A quel punto sarà sufficiente calcolare la lunghezza di tale linea e si avrà esattamente la distanza percorsa dal giocatore per tutta la durata della sua gara.

La parametrizzazione delle curve differenziali ci aiuta in questo tipo di situazioni. La parametrizzazione, o forma implicita di una superficie, è uno strumento matematico che permette, in generale, di descrivere un oggetto geometrico da un certo spazio a uno spazio più semplice (per esempio se si tratta di spazi vettoriali, si può passare dalla descrizione di una curva da uno spazio vettoriale a uno di dimensione inferiore), conservando gli elementi base per poter trasferire e gestire alcune proprietà.

In particolare, la geometria differenziale cerca di definire alcune caratteristiche locali delle curve: ossia al posto di studiare la curva nel suo complesso, prendiamo un punto e ci muoviamo da quel punto. In questo modo possiamo vedere passo passo quante proprietà vengono verificate e quante no. Si definiscono così le zone “buone”, ossia dove tutto funziona senza problemi, e le aree in cui ci sono discontinuità.

Lo studio classico delle curve differenziale è direttamente legato alla risoluzione di sistemi di equazioni alle derivate parziali. Si tratta di uno studio affascinante, che rivela cosa è una curva analizzandola direttamente dall’interno e che vede impegnati tantissimi matematici nella ricerca. Tante sono infatti le aree di applicazioni di questa materia (dalla finanza quantitativa alla medicina). E’ uno studio che apre la mente: pensa un po’ quante cose straordinarie si possono conoscere e quante informazioni in più si possono avere, se si conosce il modo in cui un qualcosa evolve.

Tuttavia questo studio, essendo collegato alle equazione alle derivate parziali, è abbastanza complesso: se è semplice risolvere un’equazione di secondo grado, non sempre è semplice risolvere un’equazione alle derivate parziali e, in alcuni casi, non è possibile nemmeno determinare se ci sono o meno soluzioni.

Quello che abbiamo visto oggi è però un approccio innovativo su questo argomento. Lo studio delle curve differenziali può essere anche analizzato studiando la “forma implicita” di una superficie. In pratica, si cerca di analizzare la forma generica di una superficie associando a ogni punto della stessa delle coordinate cartesiane. In questo modo queste coordinate cartesiane possono essere analizzate come se fossero n-uple di uno spazio vettoriale, e quindi vettori. Il docente del corso in maniera appassionata, quasi in contrasto con l’aspetto di distacco caratteristico del tratto somatico polacco, ci ha fatto vedere che, alle equazioni delle derivate parziali, questo approccio alterna uno studio basato su calcoli di autovettori e autovalori. La magia e il fascino matematico rimane, in compenso è notoriamente affermato che è più semplice calcolare l’autovalore di una matrice, rispetto alla risoluzione di un’equazione alle derivate parziali.

 

Mi sarebbe piaciuto descrivere in questo post qualche dettaglio in più su tali questioni, facendo vedere qualche risultato in maniera analitica. Perdonerete il fatto che il mio cervello necessita di qualche ora per metabolizzare tutte le informazioni raccolte oggi. I ritmi di studio sono pazzeschi, ma divertenti allo stesso tempo: qui si gioca con gli operatori differenziali come se fossero lego e costruzioni per bambini a cui piace stare tanto insieme. Anche la convivenza con gli studenti stranieri (a cui dedicherò il prossimo post di questo indegno diario di bordo) è stata positiva.

Insomma, il resoconto di questa prima fase è molto positivo: docenti interessanti, ragazzi gioviali, argomenti trattati a lezione stimolanti. Passa quasi in secondo piano la sceneggiatura fantastica messa a noi a disposizione dall’Universite de Bourgogne, e il tram cittadino che attraversa tranquillamente le stradine che collegano i vari dipartimenti.

Cagir, Campus, Université de Bourgogne

 

Scritto il Luglio 2014

Lezione 0 e Lezione 2

 

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